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Dec 26, 2025 11:59 AM
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AI 辅助说明：
本文使用 Claude Opus4.5 润色，纠错文章，使用 Gemini Nano Banano3 绘制插图
Notion AI 总结：
本文通过三角形、正方形和雪花的旋转对称性引入了群论的基本概念，系统地解释了群的四个核心要素（集合、运算规则、结合律、单位元和逆元）以及封闭性，为理解化学中分子对称性和群论应用奠定了数学基础。
雪花 ❄️，比如三角形🔺，正方形 🔲，人们有一种感觉他们很美，很协调，后来人们给他们起了一个名字叫做对称（symmetry），给人一种很美的感觉，
但是他们似乎又有些不一样，给人感觉雪花最好看，最对称，而三角形似乎最不好看，那么有什么办法可以量化他们这种“好看”的指标呢？
下图中，我们在三角中取三角形的中心，然后用一条竖直虚线穿过三角形的中心，可以看到我们我们旋转一个特定的角度旋转三次可以让三角形回到原始位置
我们再看看正方形，同理我们取正方形的中心，然后用一条竖直虚线穿过正方形的中心，我们绕着竖直虚线进行旋转特定的角度旋转四次可以让正方形回到原始位置
雪花的同理
上面我们都取了三角形和正方形的中心，以及用了一条虚线，那么为什么要这样做呢？
这是因为我们需要找到一个中心和竖直虚线来描述这些图形的对称性。
通过这种方式，我们可以用旋转的次数来量化不同图形的对称程度（或者叫做美感）——正方形需要旋转4次，而三角形只需要3次。
现在我们需要提出两个问题：
- 上面提到的中心、竖直虚线和旋转次数到底指的是什么？为什么中心要放在图形的中心？竖直虚线为什么要穿过中心？
- 如果你观察三角形和雪花，现实生活中雪花明显更好看。它们都是旋转三次，那为什么雪花更好看呢？
回答第一个问题：为什么需要中心、虚线和旋转次数？
要理解对称性，我们需要引入对称操作的概念。
中心（也叫对称中心）：这是图形进行旋转操作时保持不变的点。我们把中心放在图形的中心，是因为这样可以确保旋转后图形的每个部分都能恰好重合到另一个对应的部分上。
竖直虚线（旋转轴）：这是我们进行旋转操作时围绕的轴。虚线必须穿过中心，因为旋转操作是围绕这条轴进行的。
旋转次数（对称操作）：这个数字告诉我们需要旋转多少次才能让图形回到原始位置。数学上，我们称之为旋转阶数或n重旋转轴（）。三角形有 旋转轴，正方形有 旋转轴。
第二个问题呢？
关于为什么雪花比三角形更美这个问题，我们先留个悬念。
答案和我们刚才提到的对称操作有关，但不仅仅是旋转操作那么简单……
在回答这个问题之前，我们需要先系统地学习一下群论的基本概念。让我们继续往下探索！
为了解决上面的问题，我们先引入一些概念
1. 群的引入
什么是群？
我们先来看维基百科的定义：
好的可以放弃了，什么乱七八糟的。
我们还是从三角形的旋转出发
从上图可以看出，我们对三角形进行了三次旋转操作，分别是：
- 旋转 120° (记作 R₁)
- 再旋转 120° (记作 R₂)
- 再旋转 120° (记作 R₃)，旋转 360° 后回到初始状态
这些旋转操作就构成了一个集合：（集合里面还有些旋转任意度数的操作，这里又写出来）
所谓群就是这个集合以及其中的运算规则共同形成的，用数学表达就是
用数学符号表示为，
- 是集合，集合里面的东西叫做元素，在化学群论中叫做操作元素或者操作
- • 是运算规则（也叫二元运算，意思是对集合中的任意两个元素进行运算,下面会看到）。
在这个例子中，运算规则就是"连续进行两次旋转操作"，比如先旋转120°（用 表示）再旋转120° （用 表示），就等于旋转240°，即
这里的乘号表示的不是普通的乘法，而是表示"先进行一个操作，再进行另一个操作"这样的复合操作。
我们现在旋转三次
旋转三次我们可以这样
- 先操作 、，然后再操作 ，那么数学表达就是这样
- 也可以先操作 ，然后再操作 、，那么数学表达就是这样
可以看到无论是哪种方式，都是回到初始状态所以这两个操作是一样的，于是我们可以得到
这就是群论中的结合律（associativity）。它告诉我们：当我们连续进行多个操作时，无论先组合哪两个操作，最终结果都是一样的。
接下来我们在再考虑下面的事情：
先旋转 120°,然后反向旋转 120°,用数学表达就是:
其中 表示 的逆操作(反向旋转 )
这里的逆操作就叫做群中的逆元。
逆元的定义是对于群中的任意元素，如果它与另一个元素复合后能回到初始状态，那么这另一个元素就是它的逆元。
用我们三角形的例子来说：如果旋转 120°（）后，再进行某个操作能让三角形回到初始状态，那么这个操作就是 的逆元，记作 R₁⁻¹。
数学表达式：
逆元是否唯一呢？
关心逆元是否唯一有什么意义？
因为如果一个操作有多个逆元，那意味着有多种不同的方式能"撤销"这个操作回到初始状态，这会导致群的结构变得不确定和混乱。
证明逆元的唯一性可以确保群中每个操作都有明确的"反操作"，这是群论体系自洽性的基础。
有人说逆元不唯一，按照下面的方法得到多个逆元
- 先旋转120°，然后反向旋转120°
- 先旋转120°，然后反向旋转480°（120°回到初始位置，然后360°也是回到初始位置，两个叠加也是回到初始位置）
这个想法很有意思！但实际上，逆元是唯一的。我们来分析一下为什么：
虽然反向旋转 480° 确实能让三角形回到初始位置，但在群论中，我们关注的是操作的结果，而不是操作的具体过程。
反向旋转480°的效果等同于反向旋转 120°（因为多转的360°相当于没转），所以它们在群中是同一个元素。这就像开车一样：你可以从 A 直接到 B ，也可以迷路后从 A 先到C，绕了一大圈又回到 B，虽然路径不同，但最终到达的位置是相同的。
逆元好比考试一样只看结果，不看过程，也是有些残酷的.
我们判断逆元是否唯一，可以用这样的方法：假设 有两个不同的逆元 和 ，那么根据逆元的定义，应该有：
现在我们来看看 A 和 B 是否相同。对等式 的两边同时左乘 A：
根据结合律，左边可以写成：
因为 是 的逆元，所以 ，代入得：
而"回到初始状态"这个操作与任何操作复合都不改变结果，所以：
因此逆元必定是唯一的。
在三角形中，我们再来看一些特殊的旋转操作
- 旋转 0°
- 旋转 360°
- 旋转 720°
这些旋转操作看起来不同，但它们的效果都是一样的——三角形保持不动，回到初始状态。在群论中，我们把这种"什么都不做"的操作叫做单位元（identity element），通常用符号 表示, 字母 取自德语 Einheit
单位元有一个重要的性质：它与任何操作复合，都不会改变那个操作的结果。用数学表达就是：
单位元和逆元有个一样的地方，就是只看结果，不看过程。无论你旋转多少圈，只要最终位置相同，就被视为同一个操作。
武侠小说里面经常有这样的牛逼人物，练成了神功，得到成仙了，超脱六界之外了，在群论里面我们可以通过旋转操作，让三角形的旋转后三角形变成我们不认识的三角形吗？
很遗憾，不行，无论我们怎么样进行旋转操作，三角形的形状都不会变，都是原来的三角形，并且你的这些操作，我们可以用三角形的旋转群里面的元素表示出来，比如你旋转 91°，
我们可以把它分解成 91° = 120° - 29°，也就是先顺时针旋转 120°（），再逆时针旋转 29°。虽然过程复杂，但最终的状态仍然可以用群中的元素组合来表示。这就是群论中的封闭性（closure）——任何操作的组合结果，都还在这个群里面，不会"跳出"这个体系。
如果你非要超脱六界之外，改变三角形的形状（比如把它压扁、拉长），那就不再是对称操作了——对称操作的定义就是让图形保持不变。这时候你需要的是更一般的变换理论，但那已经超出我们这篇文章的范围了。
总结下我们目前讨论的概念，旋转操作，结合律，逆元，单位元，封闭性，那么，再来看最开始的维基百科的定义：
是不是就基本清楚了？
2. 群的定义
我们现在给出群的严格定义：
一个群 （Group）是一个集合，配备一个二元运算 ，满足以下四个条件：
- 封闭性（Closure）：对于群中任意两个元素 和 ，它们的运算结果 仍然在群 G 中。
- 结合律（Associativity）：对于群中任意三个元素 、、，满足 = 。
- 单位元（Identity）：存在一个特殊元素 ，使得对于任意元素 ，都有 。
- 逆元（Inverse）：对于群中每个元素 ，都存在唯一的元素 ∈ G，使得 = 。
实际上通过我们上面的大量例子的说明，相信大家对这个定义应该是很好懂的,并且有一个很深刻的理解了
我们目前讨论的群其实是李群，李群是以挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）的名字命名的，它是一种特殊的群，其元素可以用连续参数来描述，也叫连续群。
在我们的三角形例子中，旋转角度就是一个连续参数——你可以旋转任意角度，比如 30°、45.7°、91° 等等。
几乎所有的化学课本里面讲解群都是直接讲解开始说群的定义，然后突然把离散群定义出来，并未告诉你其背后的数学原理和连续群的概念。
尽管我们这里引出了李群，也就是连续群，但是在我们的化学对称性研究中，我们更关心的是离散群，也就是只有特定角度的旋转才能让分子保持不变的对称操作。
比如在三角形中，只有旋转 120°、240° 和 360°（即 0°）这些离散的角度才是有效的对称操作，而不是任意角度。
离散群的元素数量是有限的或可数的，这使得它们在描述分子对称性时更加实用和直观。在接下来的内容中，我们将重点讨论这些离散对称操作如何帮助我们理解分子的性质和行为。
关于李群的更多应用，可以在分子整体转动动力学、转动算符、角动量算符、连续坐标变换、Hamiltonian 不变性等领域找到。
这些内容属于运动、算符、微分方程的范畴，而不是对称性分类，而且对我们而言难度太高，不是我们现在能讨论的。
其实还有一个问题我们没有解决
如果你观察三角形和雪花，现实生活中雪花明显更好看。它们都是旋转三次，那为什么雪花更好看呢？
这个问题我们留到下一个文章讲解，我们马上就能知道为什么了。
- 作者:我心永恒
- 链接:https://wxyhgk.com/article/chemistry-group-1
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