发布于: 2023-9-30最后更新: 2023-11-6字数 00 分钟

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Nov 6, 2023 03:57 AM
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1. 说明

这个公式很多电动力学或者数学物理方法上都有
但是很坑的是,没有一个书说清楚了这个公式是怎么来的,我是一个打破沙锅问到底的人,必须搞明白,看了很多书籍和博客,都没看明白,最近看到一个博客看到了怎么搞了。

2. 推导

首先得说一下球坐标系,这里按照数学上的球坐标系,很多物理课本的球坐标系和数学上相反的,就是这个 是相反的
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我们的出发点是这样的方程
如果使用算子来表示就是这样的:
我们想找到这样的 ,使得:
在开始说的球坐标系下展开就是:
我们只关心 方向上的,所以其他的项都是 ,也就是:
然后我们对两边做积分就有
我们知道这个积分是等于 的,所以有:
然后我们对 求拉普拉斯算子可以看到:
会发现等于 ,很奇怪

实际上上,我们要对上面的 改写一下

下面我们要开始做积分了
由于是对全空间做积分,所以 的范围是 ,所以实际上上面的表达式应该是:
写到这里,当 的时候,似乎就能很靠近我们的答案了
上面的 我们可以使用 函数的积分来代替
我们两边去掉积分号,我们就能得到:
🚨

3. 参考教程

  1. https://blog.cupcakephysics.com/math methods/2016/11/01/greens-function-for-the-three-dimensional-radial-laplacian.html
  1. https://blog.cupcakephysics.com/math methods/2016/11/12/greens-function-for-the-two-dimensional-radial-laplacian.html

win11 copilot助手使用
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Aug 25, 2023 05:15 PM
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